Question

【题目】已知函数，，.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先对求导,再求得,即为切线斜率,进而可求得切线方程；

（2）设,求导可得,通过讨论的范围,问题转化为恒成立,得到,令,,根据函数的单调性求出的最大值即可.

解:（1）因为,所以,

又,所以该切线方程为

（2）设,则恒成立,

易得,

（i）当时,,此时在上单调递增,

①若,则当时满足恒成立,

此时；

②若,取且，

此时,所以不恒成立,不满足条件.

（ii）当时,

令,得,

当时,；当时,.

所以在上单调递减,在上单调递增.

要使恒成立,必须有当时,恒成立,

所以,

故,

令,,则,

令,得,

当时,得；当时,得,

所以在上单调递增,在上单调递减,

所以当时,的值最大,,

从而,当,时,的值最大为,

综上,的最大值为