Question

【题目】已知数列的前项和为，满足，．数列满足，，且．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，，使，，（）成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不存在

【解析】

试题（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系式，再根据等比数列定义以及通项公式求数列通项公式；对条件变形得，再根据等差数列定义以及通项公式求数列通项公式；（2）先根据错位相减法得，再参变分离得恒成立，利用数列单调性可得最小值，即得实数的取值范围.（3）先根据等差数列性质得 ，再利用奇偶分析法讨论解的情况

试题解析：（1）当时，，所以．

当时，，，

两式相减得，又，所以，

从而数列为首项，公比的等比数列，

从而数列的通项公式为．

由两边同除以，得，

从而数列为首项，公差的等差数列，所以，

从而数列的通项公式为．

（2）由（1）得，

于是，

所以，

两式相减得，

所以，

由（1）得，

因为对 ，都有，即恒成立，

所以恒成立，

记，

所以，

因为 ，从而数列为递增数列，

所以当时，取最小值，于是．

（3）假设存在正整数，使()成等差数列，则，

即 ，

若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立.

若为奇数，设，则，

于是，即，

当时，，此时与矛盾；

当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立.

综上所述，满足条件的不存在．