Question

1．若函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，则下列结论正确的是（　　）

• A． ?a∈R，函数f（x）是奇函数
• B． ?a∈R，函数f（x）是偶函数
• C． ?a∈R，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数
• D． ?a∈R，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数

Answer 1

分析 由题意可得当a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}$，f（x）是奇函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，排除A，B；再根据当a＜0，函数f（x）为减函数，故排除C，从而得出结论．

解答 解：对于函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$，当a=0时，f（x）=$\frac{1}{x}$，此时，f（x）是奇函数，
且函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当a≠0时，函数f（x）=ax²+$\frac{1}{x}$为非奇非偶函数，故排除A，B．
当a＜0，在（0，+∞）上，f′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，函数f（x）为减函数，故排除C，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．