Question

16．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（1+$\frac{1}{n}$）²a_n，则数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ×n²．

Answer 1

分析 a₁=2，a_n+1=2（1+$\frac{1}{n}$）²a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2×$\frac{（n+1）^{2}}{{n}^{2}}$．利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=2（1+$\frac{1}{n}$）²a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2×$\frac{（n+1）^{2}}{{n}^{2}}$．
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$$•\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=2ⁿ⁺¹×$\frac{（n+1）^{2}}{{n}^{2}}$×$\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}$×…×$\frac{{2}^{2}}{{1}^{2}}$
=2ⁿ⁺¹×（n+1）²．
∴a_n=2ⁿ×n²（n=1时也成立）．
故答案为：a_n=2ⁿ×n²．

点评 本题考查了递推关系的应用、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．