Question

11．已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：$\sqrt{4a+1}$$+\sqrt{4b+1}$$+\sqrt{4c+1}$＞2$+\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由a+b+c=1，且a，b，c＞0，可得0＜a，b，c＜1，且1＜$\sqrt{4a+1}$＜$\sqrt{5}$，可得$\frac{1}{\sqrt{4a+1}+1}$＞$\frac{1}{\sqrt{5}+1}$，运用分母有理化，可得
$\sqrt{4a+1}$＞1+（$\sqrt{5}$-1）a，同理可得$\sqrt{4b+1}$＞1+（$\sqrt{5}$-1）b，$\sqrt{4c+1}$＞1+（$\sqrt{5}$-1）c，累加即可得证．

解答 证明：由a+b+c=1，且a，b，c＞0，可得
0＜a，b，c＜1，
且1＜$\sqrt{4a+1}$＜$\sqrt{5}$，可得$\frac{1}{\sqrt{4a+1}+1}$＞$\frac{1}{\sqrt{5}+1}$，
即有$\frac{\sqrt{4a+1}-1}{4a}$＞$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，
即为$\sqrt{4a+1}$＞1+（$\sqrt{5}$-1）a，
同理可得$\sqrt{4b+1}$＞1+（$\sqrt{5}$-1）b，
$\sqrt{4c+1}$＞1+（$\sqrt{5}$-1）c，
三式相加可得，$\sqrt{4a+1}$$+\sqrt{4b+1}$$+\sqrt{4c+1}$＞3+（$\sqrt{5}$-1）（a+b+c）
=3+$\sqrt{5}$-1=2+$\sqrt{5}$．
则有$\sqrt{4a+1}$$+\sqrt{4b+1}$$+\sqrt{4c+1}$＞2+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质和累加法，考查推理能力，属于中档题．