Question

【题目】已知，，，：，：.给出以下四个命题：

①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；

②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；

③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上；

④若，相交，且，则与，一个内切一个外切的圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分.

则以上命题正确的是__________.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由圆与圆的位置关系和椭圆、双曲线的定义，逐一判断可得答案.

对于①，如图所示，

，

故点M恒在以E，F为焦点，AB为长轴的椭圆上，①正确；

对于②，若与x轴相切于点A，与x轴相切于点B，由题意知相外切，且，相切于点H，过点H作两圆公切线，交x轴于点Q，如图所示，

则，故Q与O点重合，所以，故点H的轨迹恒在定圆上，②正确；

对于③设与，都相切的圆的圆心为T，半径为r，则T满足，，得到，故圆心T的轨迹是双曲线的一部分，③不正确，

对于④设与，一个内切一个外切的圆的圆心为P，半径为r，则点P满足，，所以，所以点P的轨迹为椭圆的一部分. ④正确.

故答案为：①②④