Question

已知函数f(x)满足f(x)=2f(

1

x

)，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

A．[ ln3 3 ， 1 e )

B．[ ln3 3 ， 2 e )

C．(0， 1 2e )

D．(0， 1 e )

Answer 1

在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，
若g′（x）＜0，可得x＞

1

a

，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜

1

a

，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴

g( 1 a )＞0 g(3)≤0 g(1)≤0

，解得，

ln3

3

≤a＜

1

e

①
设

1

3

＜x＜1，可得1＜

1

x

＜3，
∴f(x)=2f(

1

x

)=2ln

1

x

，此时g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=-

2+ax

x

，
若g′（x）＞0，可得x＜-

1

a

＜0，g（x）为增函数
若g′（x）＜0，可得x＞-

1

a

，g（x）为减函数，
在[

1

3

，1]上有一个交点，则

g(- 2 a )＞0 g( 1 3 )≥0 g(1)≤0

，解得0＜a≤6ln3②
综上①②可得

ln3

3

≤a＜

1

e

；
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间[

1

3

，3]内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
综上：

ln3

3

≤a＜

1

e

；
故选A；