Question

【题目】已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0． （Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为 = ，求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ． ∴圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d= ≤ = ．
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）解：当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，
∴|CM|2+|MP|2=|CP|2 ，
设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，
化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1），
当M与P重合时，x=y=1也满足上式．
故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．
（Ⅲ）解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 = ，得 = ，
∴ ，化简的x2=3﹣2x1…①
又 消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0…（*）
∴ …②
由①②解得 ，带入（*）式解得m=±1，
∴直线l的方程为x﹣y=0或x+y﹣2=0．

【解析】（Ⅰ）圆C：x2+（y﹣1）2=5，可得圆心C（0，1），半径为 ．求出圆心C到直线l：mx﹣y+1﹣m=0的距离d；利用基本不等式的性质、比较d与半径的关系即可得出．（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM、CP，则CM⊥MP，利用勾股定理与两点之间的距离公式即可得出；（Ⅲ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由 = ，得 = ，直线与圆的方程联立消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，再利用根与系数的关系即可得出．