Question

若二项式(3x+

1

x2

)n的展开式中各项系数的和是64，则这个展开式中的常数项为

27

．（用数字作答）

Answer 1

分析：利用二项式各项系数的和和公式列出方程求出n的值，将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r的值，将r的值代入通项求出常数项．

解答：解：∵当x=1时可以求得开式中各项的系数的和为4ⁿ．
令4ⁿ=64
解得n=3
∴(3x+

1

x2

)n=(3x+

1

x2

)3
展开式的通项为T_r+1=C₃^r（3x）^3-r(

1

x2

)r=3^3-r×C₃^r×x^3-3r．
令3-3r=0得r=1
∴展开式中的常数项的值为3²×C₃¹=27．
故答案为：27．

点评：解决二项展开式的特定项问题一般利用二项展开式的通项公式；二项式系数和公式为2ⁿ．令x=1可得所有项系数的和．