Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是D₁D，BD的中点，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD，H为C₁G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求EF与C₁G所成的角的余弦；
（3）求FH的长．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，可求出

EF

=(

1

2

， 

1

2

，- 

1

2

)，

B 1C

=(-1，0，-1)，再利用向量数量积的坐标计算可得

EF

•

B1C

=0即可证得EF⊥B₁C．
（2）由（1）知

C1G

=(0，-

1

4

，-1)，

EF

=(

1

2

，

1

2

，-

1

2

)，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求EF与C₁G所成角的余弦值；
（3）分别表示出F，H的坐标，从而可求向量FH的模，进而可得FH的长．

解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则E（0，0，

1

2

），F(

1

2

，

1

2

，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，G(0，

3

4

，0)   
（1）∵

EF

=(

1

2

， 

1

2

，- 

1

2

)，

B 1C

=(-1，0，-1)
∵

EF

•

B1C

=0∴EF⊥B1C
（2）由（1）知

C1G

=(0，-

1

4

，-1)…（4分）
∴|

C1G

|=

02+(- 1 4 )2+12

=

17

4

，…（5分）
|

EF

|=

( 1 2 )2+( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

3

2

…（6分）

EF

•

C1G

=

1

2

•0+

1

2

•

1

4

+(-

1

2

)•(-1)=

3

8

…（7分）
∴cos＜ 

EF

，

C1G

＞  =

51

17

故EF与C₁G所成角的余弦值为

51

17

．…（8分）
（3）∵H为C₁G的中点
∴H(0，

7

8

，

1

2

)
∵F(

1

2

，

1

2

，0)
∴|

FH

|=

(0- 1 2 )2+( 7 8 - 1 2 ) 2+( 1 2 -0)2

=

41

8

∴FH=

41

8

…（10分）

点评：本题以正方体为载体，主要考查线线垂直的证明和线线角的求解．解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解立体几何问题．