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    如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

    (1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究的最小值；

    (2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究的最小值；

    (3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究的最小值．

    由以上问题，你得到了什么结论，你能证明你的结论吗？

    答案：略
    解析：

    解：设正方体的棱长为a．

    (1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是

    因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．

    当时，的最小值为，即点Q在CD的中点时，有最小值．

    (2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时，最短．因为当点Q为棱CD的中点时，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，取得最小值．

    (3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，的最小值仍然是．

    证明如下：如图，设由正方体的对称性，显然有x=y．

    设P在平面OA上的射影是H．在△AOB中，所以即有

    所以，点P的坐标是

    由已知，可设则

    当时，取得最小值，最小值是．


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    当点为对角线的中点，点在棱上运动时，探究的最小值；

    当点为棱的中点，点在对角线上运动时，探究的最小值；

    当点在对角线上运动，点在棱上运动时，探究的最小值．

    由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？

     


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