Question

已知直线，圆O：＝36（O为坐标原点），椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等。
（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3,0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在　，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵圆心O到直线的距离为，
直线l被圆O截得的弦长2a=,∴a=2,
又，解得，
∴椭圆C的方程为：;                             ………4分
（Ⅱ）∵,∴四边形OASB是平行四边形.
假设存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线长相等,
则四边形OASB为矩形，因此有,
设A(x₁，y₂)，B(x₂，y₂)，则.                  ………7分
直线l的斜率显然存在，设过点（3,0）的直线l方程为：，
由，得，     
由，即.
………9分

,
由得：，满足Δ>0.     ………12分
故存在这样的直线l,其方程为.              ………13分

略