Question

7．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过F₂作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF₁垂直于MF₂，则椭圆的离心率为$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 结合图形，根据Rt△MF₂ F₁中，在Rt△MF₁F₂中，F₁F₂=2c，∠F₁F₂M=60°，求出MF₂，MF₁，根据椭圆的定义列出关于a、c的方程，求e的值．

解答 解：如图，
在Rt△MF₁F₂中，F₁F₂=2c，
∵∠F₁F₂M=60°，
∴MF₂=c，MF₁=2c×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$c
MF₁+MF₂=c+$\sqrt{3}$c=2a，⇒e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}-1$．
故答案为$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，考查运算能力．