Question

3．设函数f（x）=lnx-x²+x+a（a∈R，e是自然对数的底数）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x²+x+2在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恰有两相异实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a≤2时，证明：f（x）-e^x-1＜0．

Answer 1

分析 （I）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1，x＞0，知当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．由此能求出函数f（x）的单调区间．
（II）方程lnx-x²+x+a=x²+x+2化为a=2x²+2-lnx，令g（x）=2x²-2-lnx，由g（x）的单调性，结合在[1，e]上单调递增f（x）=x²-2x+2a在[$\frac{1}{e}$，e]上有两个相异实根，由此能列出关于a的不等关系求出实数a的取值范围，
（Ⅲ）要证原不等式成立，只需证明f（x）＜e^x+1成立，由（1）可知当x=1时，f（x）_max=a≤2，继而得到e^x＞1，问题得以证明．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-x²+x+a，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
∴x＞1时，f'（x）＜0；0＜x＜1时，f'（x）＞0
故f（x）的单调递减区间是（1，+∞），单调递增区间是（0，1）
（2）f（x）=x²+x+2得到lnx-x²+x+a=x²+x+2，即a=2x²+2-lnx，
令g（x）=2x²-2-lnx，
 则g′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4（x-\frac{1}{2}）（x+\frac{1}{2}）}{x}$
当x∈[$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$）时，g′（x）＜0，g（x）递减
当x∈（$\frac{1}{2}$，e]时，g′（x）＞0，g（x）递增
又g（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{3}{2}$，g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{2}{{e}^{2}}$-1，g（e）=2e²-3，
∵g（$\frac{1}{e}$）＜g（e），
∴ln2-$\frac{3}{2}$＜a≤$\frac{2}{{e}^{2}}$-1，
（3）要证原不等式成立，只需证明f（x）＜e^x+1成立
由（1）可知当x=1时，f（x）_max=a≤2，
又x＞0时，e^x＞1，
∴e^x+1＞2，
故f（x）＜e^x+1，
即当a≤2时，f（x）-e^x-1＜0．

点评 本题考查导数的性质和应用、利用导数研究函数的单调性，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，属于中档题．