Question

【题目】为美化环境，某市计划在以、两地为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂（如图所示）.已知、两地的距离为，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关，对、两地的总影响度对地的影响度和对地影响度的和.记点到地的距离为，垃圾处理厂对、两地的总影响度为.统计调查表明：垃圾处理厂对地的影响度与其到地距离的平方成反比，比例系数为；对地的影响度与其到地的距离的平方成反比，比例系数为.当垃圾处理厂建在弧的中点时，对、两地的总影响度为.

（1）将表示成的函数；

（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对、两地的总影响度最小？若存在，求出该点到地的距离；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）当点到点的距离为时，垃圾处理厂对两地的总影响度最小.

【解析】

（1）根据题意建立含参数的函数解析式，将时代入，求得，即可求得函数解析式;

（2）利用导数，确定函数的单调性及最值，即可求得答案.

解：（1）由题意，，

则，

其中，当时，，故，

∴.

（2）存在.由（1）可得 ，

令得，

当时，，故函数在区间单调递减，

当时，，故函数在区间单调递增，

故时，函数有最小值.

即当点到点的距离为时，垃圾处理厂对两地的总影响度最小.

（另解：此问也可用基本不等式求最值）