【题目】设函数f(x)= ,关于x的方程[f(x)]2+mf(x)﹣1=0有三个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,e﹣ )
B.(e﹣ ,+∞)
C.(0,e)
D.(1,e)
【答案】B
【解析】解:f′(x)= ,
∴当x>e时,f′(x)<0,当0<x<e时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,e]上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
∴fmax(x)=f(e)= .
作出f(x)的大致函数图象如下:
由图象可知当0<k 时,f(x)=k有两解,
当k≤0或k= 时,f(x)=k有一解,当k
时,f(x)=k无解.
令g(x)=x2+mx﹣1,则g(f(x))有三个零点,
∴g(x)在(0, )上有一个零点,在(﹣∞,0]∪{
}上有一个零点.
∵g(x)的图象开口向上,且g(0)=0,∴g(x)在(﹣∞,0)上必有一个零点,
∴g( )>0,即
,
解得m>e﹣ .
故选B.
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【题目】已知函数.
(1)若f(-1)=f(1),求a,并直接写出函数的单调增区间;
(2)当a≥时,是否存在实数x,使得
=一
?若存在,试确定这样的实数x的个数;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
上两点
的极坐标分别为
,圆
的参数方程为
(
为参数).
(1)设为线段
的中点,求直线
的平面直角坐标方程;
(2)判断直线与圆
的位置关系.
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【题目】以坐标原点O为极点,O轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(sinθ+cosθ+ ).
(1)写出曲线C的参数方程;
(2)在曲线C上任取一点P,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,求矩形OAPB的面积的最大值.
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【题目】对于两条平行直线、
(
在
下方)和图象
有如下操作:将图象
在直线
下方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
;将图象
在直线
上方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
:再将图
在直线下方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
;再将图象
在直线
上方的部分沿直线
翻折,其余部分保持不变,得到图象
;以此类推…;直到图象
上所有点均在
、
之间(含
、
上)操作停止,此时称图象
为图象
关于直线
、
的“衍生图形”,线段
关于直线
、
的“衍生图形”为折线段
.
(1)直线型
平面直角坐标系中,设直线,直线
①令图象为
的函数图象,则图象
的解析式为
②令图像为
的函数图象,请你画出
和
的图象
③若函数的图象与图象
有且仅有一个交点,且交点在
轴的左侧,那么
的取值范围是_______.
④请你观察图象并描述其单调性,直接写出结果_______.
⑤请你观察图象并判断其奇偶性,直接写出结果_______.
⑥图象所对应函数的零点为_______.
⑦任取图象中横坐标
的点,那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为(_______,_______),最低点坐标为(_______,_______).
⑧若直线与图象
有2个不同的交点,则
的取值范围是_______.
⑨根据函数图象,请你写出图象的解析式_______.
(2)曲线型
若图象为函数
的图象,
平面直角坐标系中,设直线,直线
,
则我们可以很容易得到所对应的解析式为
.
①请画出的图象,记
所对应的函数解析式为
.
②函数的单调增区间为_______,单调减区间为_______.
③当时候,函数
的最大值为_______,最小值为_______.
④若方程有四个不同的实数根,则
的取值范围为_______.
(3)封闭图形型
平面直角坐标系中,设直线,直线
设图象为四边形
,其顶点坐标分别为
,
,
,
,四边形
关于直线
、
的“衍生图形”为
.
①的周长为_______.
②若直线平分
的周长,则
_______.
③将沿右上方
方向平移
个单位,则平移过程中
所扫过的面积为_______.
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【题目】为美化环境,某市计划在以、
两地为直径的半圆弧
上选择一点
建造垃圾处理厂(如图所示).已知
、
两地的距离为
,垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关,对
、
两地的总影响度对
地的影响度和对
地影响度的和.记
点到
地的距离为
,垃圾处理厂对
、
两地的总影响度为
.统计调查表明:垃圾处理厂对
地的影响度与其到
地距离的平方成反比,比例系数为
;对
地的影响度与其到
地的距离的平方成反比,比例系数为
.当垃圾处理厂建在弧
的中点时,对
、
两地的总影响度为
.
(1)将表示成
的函数;
(2)判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对
、
两地的总影响度最小?若存在,求出该点到
地的距离;若不存在,说明理由.
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【题目】已知定理:“实数m,n为常数,若函数满足
,则函数
的图象关于点
成中心对称”.
(1)已知函数的图象关于点
成中心对称,求实数b的值;
(2)已知函数满足
,当
时,都有
成立,且当
时,
,求实数k的取值范围.
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【题目】在下列命题中,正确命题的个数为( )
①两个复数不能比较大小;
②,若
,则
;
③若是纯虚数,则实数
;
④是虚数的一个充要条件是
;
⑤若是两个相等的实数,则
是纯虚数;
⑥的一个充要条件是
.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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