【题目】已知函数.
(1)若f(-1)=f(1),求a,并直接写出函数的单调增区间;
(2)当a≥时,是否存在实数x,使得=一?若存在,试确定这样的实数x的个数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),单调增区间为,;(2)2个.
【解析】
(1)首先根据题中所给的函数解析式,利用,得到所满足的等量关系式,求得的值,从而得到函数的解析式,进而求得函数的单调增区间;
(2)根据条件,结合函数解析式,分类讨论,分析性质,
(1)由,得,解得.
此时,函数
所以函数的单调增区间为,.
(2)显然,不满足;
若,则,由,得,
化简,得,无解:
若,则,由,得,
化简,得.
令,.
当时,;
下面证明函数在上是单调增函数.
任取,且,
则
由于
,
所以,即,故在上是单调增函数。
因为,,
所以,又函数的图象不间断,所以函数在上有且只有一个零点.
即当时,有且只有一个实数x满足.
因为当满足时,实数也一定满足,即满足的根成对出现(互为相反数);
所以,所有满足的实数x的个数为2.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (其中α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)若A,B为曲线C1 , C2的公共点,求直线AB的斜率;
(2)若A,B分别为曲线C1 , C2上的动点,当|AB|取最大值时,求△AOB的面积.
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【题目】已知f(x)=a(x﹣lnx)+ ﹣ ,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a= 时,证明:f(x)>f′(x)+ 对于任意的x∈[1,2]成立.
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【题目】中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐、规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为(,且);选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列推理正确的是( )
A. 每场比赛第一名得分为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名
C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名
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【题目】某企业为打入国际市场,决定从、两种产品中只选择一种进行投资生产,已知投资生产这两种产品的有关数据如下表:(单位:万美元)
年固定成本 | 每件产品成本 | 每件产品销售价 | 每年最多可生产的件数 | |
A产品 | 20 | 10 | 200 | |
B产品 | 40 | 8 | 18 | 120 |
其中年固定成本与年生产的件数无关,是待定常数,其值由生产产品的原材料决定,预计,另外,年销售件B产品时需上交万美元的特别关税,假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)求该厂分别投资生产A、两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系,并求出其定义域;
(2)如何投资才可获得最大年利润?请设计相关方案.
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【题目】如图,AB是⊙O的切线,ADE是⊙O的割线,AC=AB,连接CD,CE,分别与⊙O交于点F,点G.
(1)求证:△ADC~△ACE;
(2)求证:FG∥AC.
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【题目】某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高(单位:)频数分布表如表、表.
表:男生身高频数分布表
身高/ | ||||||
频数 |
表:女生身高频数分布表
身高/ | ||||||
频数 |
(1)求该校高一女生的人数;
(2)估计该校学生身高在的概率;
(3)以样本频率为概率,现从高一年级的男生和女生中分别选出人,设表示身高在学生的人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】设函数f(x)= ,关于x的方程[f(x)]2+mf(x)﹣1=0有三个不同的实数解,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,e﹣ )
B.(e﹣ ,+∞)
C.(0,e)
D.(1,e)
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