【题目】已知f(x)=a(x﹣lnx)+ ﹣
,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a= 时,证明:f(x)>f′(x)+
对于任意的x∈[1,2]成立.
【答案】
(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),
,
当a≤0,x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当a>0时,f′(x)= (x+
)(x﹣
),
①0<a<2时 ,
当 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
②a=2时 ,当x∈(0,+∞)时f′(x)≥0,f(x)单调递增;
③a>2时, ,
当 单调递增,
当 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
综上所述,
当a≤0时,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;
当0<a<2时,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在1, )内单调递减,在(
,+∞)内单调递增;
当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当a>2时,函数f(x)在(0, )内单调递增,在(
,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
(2)证明:由(1)知, 时,
= ,
设 ,
f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x)则g′(x)= ≥0,
∴ ,当且仅当x=1时取等号,
又 ,设(x)=﹣5x2﹣4x+12,则(x)在x∈[1,2]单调递减,
∴x0∈[1,2]使得x∈(1,x0)时(x)>0,x∈(x0,2)时(x)<0,
∴h(x)在(1,x0)上单调递增,在(x0,2)上单调递减,
∵ ,
∴ ,
即 对于任意的x∈[1,2]成立
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围确定导函数的符号,从而求出函数的单调区间;(2)求出f(x)﹣f′(x)的表达式,分别令 ,则f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x),根据函数的单调性怎么即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】设f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a=f( ),b=f(
),c=f(﹣2),则a,b,c的大小关系是(从小到大排)
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,求
.
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【题目】给定椭圆,称圆
为椭圆
的“伴随圆”.已知点
是椭圆
上的点
(1)若过点的直线
与椭圆
有且只有一个公共点,求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长:
(2)是椭圆
上的两点,设
是直线
的斜率,且满足
,试问:直线
是否过定点,如果过定点,求出定点坐标,如果不过定点,试说明理由。
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【题目】自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:
产假安排(单位:周) | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
有生育意愿家庭数 | 4 | 8 | 16 | 20 | 26 |
(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?
(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.
①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;
②如果用ξ表示两种方案休假周数和.求随机变量ξ的分布及期望.
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【题目】已知命题p:函数f(x)=x2-2mx+4在[2,+∞)上单调递增,命题q:关于x的不等式mx2+4(m-2)x+4>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.
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【题目】近年来,共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活,并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众,某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统,以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出
条较为详细的评价信息进行统计,车辆状况的优惠活动评价的
列联表如下:
对优惠活动好评 | 对优惠活动不满意 | 合计 | |
对车辆状况好评 | |||
对车辆状况不满意 | |||
合计 |
(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?
(2)为了回馈用户,公司通过向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费,也可以通过
转赠给友.某用户共获得了
张骑行券,其中只有
张是一元券.现该用户从这
张骑行券中随机选取
张转赠给好友,求选取的
张中至少有
张是一元券的概率.
参考数据:
参考公式:,其中
.
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【题目】已知函数.
(1)若f(-1)=f(1),求a,并直接写出函数的单调增区间;
(2)当a≥时,是否存在实数x,使得
=一
?若存在,试确定这样的实数x的个数;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
上两点
的极坐标分别为
,圆
的参数方程为
(
为参数).
(1)设为线段
的中点,求直线
的平面直角坐标方程;
(2)判断直线与圆
的位置关系.
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