Question

【题目】以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+ ）．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．

故曲线C的参数方程 （θ为参数）

（2）解：由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），

则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ）（1+2sinθ）|=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|

令 ，t2=1+2sinθcosθ， ，

故当 时，

【解析】（1）由极坐标化为标准方程，再写出参数方程即可，（2）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ，根据二次函数的性质即可求出答案．