Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，设，根据题意确定，，，，，找点P，D，E，F坐标，确定直线与的方向向量，根据异面直线与所成角满足，求解，即可.

（2）根据（1）的点坐标，求平面的一个法向量为和平面的一个法向量为．由题意可知二面角为锐角，根据求出，从而计算，即可.

（1）底面是矩形，平面

，，

以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

因为是的一个三等分点（靠近点），所以，．

因为是等腰三角形，且，所以．

不妨设，则，，，．

又由平行线分线段成比例，得，所以．

所以点，，，，

则，．

设异面直线与所成角为，

则．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（2）建系，求点的坐标同（1），则，．

设平面的法向量为，则，得．

令，得平面的一个法向量为；

又易知平面的一个法向量为．

设二面角的大小为，由题意得为锐角，

所以，则．

所以二面角的正切值为．