Question

已知函数.

(1)若，判断的单调性．

(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;

(3)当时,方程有实根,求实数的最大值.

Answer 1

解:（1）若 则 

所以当时,,当 ﹥0得或

当 0时得，所以的单调增区间为，减区间为．------3分．

(2)因为在区间为上增函数,

所以在区上恒成立  

当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故符合题意  

当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,

所以在恒成立  

令,其对称轴为, 

因为所以,从而在上恒成立,只要即可,

因为

解得

因为,所以.

综上所述,的取值范围为  ----------8分

(3)若时,方程可化为.

问题转化为在上有解,

即求函数的值域  

因为,令,

则   ,  

所以当时,从而在上为增函数,

当时,从而在上为减函数,  

因此.

而,故,

因此当时,取得最大值0