Question

已知函数，g（x）=alnx+a．
（1）a=1时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围

Answer 1

解：（1）a=1时，，
则
令F'（x）≥0有：x≤0（舍去）或x≥1；
令F'（x）≤0有0≤x≤1
故F（x）的单增区间为[1，+∞）；单减区间为（0，1]．
（2）构造F（x）=f（x）﹣g（x）（x＞1），
即
则．
①当a≤e时，e^x﹣a＞0成立，则x＞1时，F'（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上单增，
令F（1）=e﹣a﹣a≥0，∴，故
②a＞e时，F'（x）=0有x=1或x=lna＞1
令F'（x）≥0有x≤1或x≥lna；
令F'（x）≤0有1≤x≤lna
即F（x）在（1，lna]上单减；在[lna，+∞）上单增
故F（x）_min=F（lna）=﹣aln（lna）﹣a＞0，
∴ ，舍去
综上所述，实数a的取值范围