Question

【题目】己知数列：1，，，3，3，3，，，，，…，，即当（）时，，记（）．

（1）求的值；

（2）求当（），试用n、k的代数式表示（）；

（3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数．

Answer 1

【答案】（1）1888；（2），（）；（3）65.

【解析】

（1）令，解得，分析规律可得，，，，，，，由此即可求出；

（2）当（）时，，分别求出为奇数时和为偶数时的表达式，最后用n、k的代数式表示即可；

（3）首先时，，满足条件，故，此时n取1个整数，由（2）知，当（）时，可得，由可得，必为偶数，令，解得，从而依次令，，，，，结合，分别求出n取整数的个数即可得到最终结果.

（1）依题意，令（），解得，

分析规律可得，，，，，

，，

则

；

（2）当（）时，

，

若为奇数，

；

若为偶数，

.

综上所述，，（）；

（3）首先时，，满足条件，故，此时n取1个整数；

由（2）知，当（）时，

，又，

则，

由可得，必为偶数，

令，解得，所以有：

当时，因为，故n可取3个整数；

当时，因为，故n可取5个整数；

当时，因为，故n可取7个整数；

当时，因为，故n可取63个整数；

综上，集合中元素的个数为：