Question

【题目】在四棱锥中，．

（1）设与相交于点，，且平面，求实数的值；

（2）若，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由AB∥CD，得到，由MN∥平面PCD，得MN∥PC，从而，由此能实数m的值．

（2）由AB＝AD，∠BAD＝60°，知△ABD为等边三角形，推导出PD⊥DB，PD⊥AD，从而PD⊥平面ABCD，以D为坐标原点，的方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

（1）因为,所以．

因为平面，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因为,可知三角形ABD为等边三角形，

所以，又，故，所有．

由已知，所以平面，

如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

设，则，

所以,

则，

设平面的一个法向量为，则有

即 令，则，即，

设平面的一个法向量为,则有

即令，则，即．

所以，

设二面角的平面角为 ，则