【题目】已知函数
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对于任意的,都存在
,使得
,求
的取值范围
【答案】(1)的单调增区间是
,单调减区间是
和
,当
时,
取极小值
,当
时,
取极大值
, (2)
【解析】
试题(1)求函数单调区间及极值,先明确定义域:R,再求导数在定义域下求导函数的零点:
或
,通过列表分析,根据导函数符号变化规律,确定单调区间及极值,即
的单调增区间是
,单调减区间是
和
,当
时,
取极小值
,当
时,
取极大值
, (2)本题首先要正确转化:“对于任意的
,都存在
,使得
”等价于两个函数值域的包含关系.设集合
,集合
则
,其次挖掘隐含条件,简化讨论情况,明确讨论方向.由于
,所以
,因此
,又
,所以
,即
解(1)由已知有令
,解得
或
,列表如下:
所以的单调增区间是
,单调减区间是
和
,当
时,
取极小值
,当
时,
取极大值
,(2)由
及(1)知,当
时,
,当
时,
设集合
,集合
则“对于任意的
,都存在
,使得
”等价于
.显然
.
下面分三种情况讨论:
当即
时,由
可知
而
,所以A不是B的子集
当即
时,有
且此时
在
上单调递减,故
,因而
由
有
在
上的取值范围包含
,所以
当即
时,有
且此时
在
上单调递减,故
,
,所以A不是B的子集
综上,的取值范围为
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【题目】已知椭圆的左、右焦点为
、
,
,若圆Q方程
,且圆心Q在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线交椭圆
于A、B两点,过直线
上一动点P作与
垂直的直线
交圆Q于C、D两点,M为弦CD中点,
的面积是否为定值?若为定值,求出此定值;若不为定值,说明你的理由.
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【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
的方程为
.以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求的直角坐标方程;
(2)若与
有且仅有三个公共点,求
的方程.
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【题目】设数列A: ,
,…
(
).如果对小于
(
)的每个正整数
都有
<
,则称
是数列A的一个“G时刻”.记“
是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;
(2)证明:若数列A中存在使得
>
,则
;
(3)证明:若数列A满足-
≤1(n=2,3, …,N),则
的元素个数不小于
-
.
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【题目】对于曲线C所在平面上的定点,若存在以点
为顶点的角
,使得
对于曲线C上的任意两个不同的点A,B恒成立,则称角
为曲线C相对于点
的“界角”,并称其中最小的“界角”为曲线C相对于点
的“确界角”.曲线
相对于坐标原点
的“确界角”的大小是 _________.
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【题目】某民航部门统计的2019年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表如图所示,根据图表,下面叙述不正确的是( )
A. 同去年相比,深圳的变化幅度最小且厦门的平均价格有所上升
B. 天津的平均价格同去年相比涨幅最大且2019年北京的平均价格最高
C. 2019年平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D. 同去年相比,平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京
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