Question

（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求证：A₁C⊥平面AEF；

（2）当AB＝4，AD＝3，AA₁＝5时，

求平面AEF与平面D₁B₁BD所成的角的余弦值.

Answer 1

答案

（1）证明：因为A₁C·AE＝(A₁B＋BC)·AE＝BC·AE＝BC·(AB＋BE)＝0，

所以A₁C⊥AE；

（3分）

因为A₁C·AF＝(A₁D＋DC)·AF＝DC·AF＝DC·(AD＋DF)＝0，

所以A₁C⊥AF，  

因此，A₁C⊥平面AEF.

（6分）

→

（2）解：以点A₁为原点建立坐标系，得下列坐标：A₁（0，0，0），B₁（4，0，0），C₁（4，3，0），D₁（0，3，0），A（0，0，－5），B（4，0，－5），C（4，3，－5），D（0，3，－5）.

设平面D₁B₁BD的法向量为a＝（x，y，0），则a·B₁D₁＝0，得4x＝3y.

令x＝3，y＝4，则a＝（3，4，0）.       cosθ＝＝

（12分）