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已知函数fx)=-x2ax-lnxa∈R).

   (1)求函数fx)既有极大值又有极小值的充要条件;

   (2)当函数fx)在[,2]上单调时,求a的取值范围.

解:(1)∵f′(x)=-2xax>0),

fx)既有极大值又有极小值⇔方程2x2ax+1=0有两个不等的正实数根x1x2

(3分)

,∴a>2

∴函数fx)既有极大值又有极小值的充要条件是a>2.(6分)

   (2)f′(x)=-2xa,令gx)=2x

g′(x)=2-gx)在[]上递减,在(,2)上递增.(8分)

g)=3,g(2)=g)=2

gxmaxgxmin=2.(10分)

fx)在[,2]单调递增,则f′(x)≥0即agx),∴a

fx)在[,2]单调递减,则f′(x)≤0,即agx),∴a≤2

所以fx)在[,2]上单调时,则a≤2a.(13分)

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