Question

已知函数y=x³+3px²+3px+1．
（1）试问该函数能否在x=-1处取到极值？若有可能，求实数p的值；否则说明理由；
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）该函数不能在x=-1处取到极值，假设存在x=-1处取到极值，则此处导数为0，求出导函数，由导函数为0求出p，将p值代入验证知，函数是单调性函数，故不可能存在极值．
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，则在区间（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，由于其对称轴不定，故分两类讨论，一类是对称轴小于-1，此时只要左端点函数值非负即可，一类是对称轴大于-1，此时最小值大于0，将这些关系转化成相应的方程与不等式解出参数的值．

解答：解：（1）该函数不能在x=-1处取到极值，理由如下：
假设存在x=-1处取到极值，则此处导数为0，
y=x³+3px²+3px+1，y'=3x²+6px+3p，
若该函数能在x=-1处取到极值，则y'|_x=-1=3-6p+3p=0，
即p=1，此时，y'=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，函数为单调函数，这与
该函数能在x=-1处取到极值矛盾，则该函数不能在x=-1处取到极值．
（2）若该函数在区间（-1，+∞）上为增函数，
则在区间（-1，+∞）上，y'=3x²+6px+3p≥0恒成立，
①

-p≤-1 f′(-1)=3-6p+3p≥0

?p=1；
②

-p＞-1 f′(-p)=3p-3p2≥0

?0≤p＜1，
综上可知，0≤p≤1．则p的取值范围是[0，1]

点评：本题考查用导数研究函数的单调性，这是导数的一个重要应用．本题中用导数建立参数的方程与不等式，这是导数与极值、最值结合的一种常见方式．