Question

16．已知x⁵（x+3）³=a₈（x+1）⁸+a₇（x+1）⁷+…+a₁（x+1）+a₀，求7a₇+5a₅+3a₃+a₁=-8．

Answer 1

分析 对x⁵（x+3）³=a₈（x+1）⁸+a₇（x+1）⁷+…+a₁（x+1）+a₀，两边求导可得：5x⁴（x+3）³+x⁵×3（x+3）²=8a₈（x+1）⁷+7a₇（x+1）⁶+…+a₁，分别令x=0，x=-2，即可得出．

解答 解：对x⁵（x+3）³=a₈（x+1）⁸+a₇（x+1）⁷+…+a₁（x+1）+a₀，
两边求导可得：5x⁴（x+3）³+x⁵×3（x+3）²=8a₈（x+1）⁷+7a₇（x+1）⁶+…+a₁，
令x=0时，可得：0=8a₈+7a₇+…+a₁，
令x=-2，可得：5×2⁴×1-2⁵×3×1=-8a₈+7a₇+…+a₁，
∴7a₇+5a₅+3a₃+a₁=$\frac{1}{2}$×（-16）=-8．
故答案为：-8．

点评 本题考查了二项式定理的应用、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．