Question

20．已知a∈R，（a+cosx）（a-sinx）=1有实根，那么a的范围是[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 若（a+cosx）（a-sinx）=1有实根，则$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）²+a（cosx-sinx）+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0有实根，令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则方程$\frac{1}{2}$t²+at+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有解，解得a的范围．

解答 解：若（a+cosx）（a-sinx）=1有实根，
则$\frac{1}{2}$（cosx-sinx）²+a（cosx-sinx）+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0有实根，
令t=cosx-sinx=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
则方程$\frac{1}{2}$t²+at+${a}^{2}-\frac{3}{2}$=0在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上有解，
即-a+$\sqrt{3-{a}^{2}}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，或-a-$\sqrt{3-{a}^{2}}$∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
a∈[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
故答案为：[-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

点评 本题考查的知识点是函数的零点与方程的根的关系，换元法，不等式的解法，难度中档．