Question

9．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求导函数曲线y=f′（x）与直线x=1，x=e及x轴所围成的面积；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，f（x）=2x+lnx，可得S=（2x+lnx）${|}_{1}^{e}$，代值计算可得；
（2）求导数可得f′（x）=$\frac{ax+1}{x}$（x＞0），由函数的单调性和导数的关系对a分类讨论可得．

解答 解：（1）由已知，当a=2时，f（x）=2x+lnx，
∴导函数曲线y=f′（x）与直线x=1，x=e及坐标轴所围成的面积
S=${∫}_{1}^{e}f′（x）dx$=（2x+lnx）${|}_{1}^{e}$=（2e+lne）-（2+ln1）=2e-1；
（2）求导数可得f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$（x＞0），
①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，由f′（x）=0可得x=-$\frac{1}{a}$，
在区间（0，-$\frac{1}{a}$）上，f′（x）＞0；在区间（-$\frac{1}{a}$，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，-$\frac{1}{a}$），单调递减区间为（-$\frac{1}{a}$，+∞）．

点评 本题考查定积分求面积，涉及导数法判函数的单调性以及分类讨论的思想，属中档题．