Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的首项分别为1，2，等差数列的公差为1，等比数列的公比为2：
（1）求{a_n}，{b_n}的通项；
（2）若c_n=a_nb_n求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）∵等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=1，
所以a_n=1+（n-1）×1=n，
∵等比数列{b_n}的首项b₁=2，公比q=2，
b_n=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵a_n=n，，c_n=a_nb_n，
c_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
分析：（1）mh 等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d=1，知a_n=n，由等比数列{b_n}的首项b₁=2，公比q=2，知b_n=2ⁿ．
（2）由a_n=n，，c_n=a_nb_n，c_n=n•2ⁿ，知S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用错位相减法能够求出S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
点评：本题考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，仔细解答