Question

1．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（　　）
①将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，则所得函数的图象关于原点对称；
②将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，则所得函数的图象关于原点对称；
③当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，函数f（x）的最大值为$\sqrt{2}$；
④当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，函数f（x）的最大值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．利用三角函数图象变换及正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

解答 解：由函数图象可得：A=$\sqrt{2}$，周期$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$），可得：T=$π=\frac{2π}{ω}$，可得：ω=2，
由点（$\frac{5π}{12}$，$\sqrt{2}$）在函数的图象上，可得：$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=$\sqrt{2}$，
解得：φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，当k=0时，可得φ=-$\frac{π}{3}$，
从而得解析式可为：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
对于①，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得：f（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
将（0，0）代入不成立，故错误；
对于②，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得：f（x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{2}$sin2x，
由正弦函数的性质可知正确；
当x∈[$\frac{π}{2}$，π]时，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，故函数f（x）的最大值为f（x）_max=$\sqrt{2}$sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，故C错误，D正确．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，三角函数图象变换及正弦函数的图象和性质，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于基本知识的考查．