Question

16．已知f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$其中$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$cos2x），将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．
（1）若$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，求g（x）的单调区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（B）=0，B∈（0，$\frac{π}{2}$），b=3，求a+c的范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运行，三角函数恒等变换的应用及已知可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换得到函数g（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$），由$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，利用正弦函数的图象和性质即可得解单调区间．
（2）由f（B）=0，可得B，又b=3，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+c=6sin（A+$\frac{π}{6}$），由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由已知可得：f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到f（x-$\frac{π}{12}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）的图象．…（3分）
又$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，可得4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，g（x）单调递增，
故g（x）单调递增区间为[0，$\frac{π}{12}$]．…（6分）
（2）由f（B）=0，可得：sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，又B∈（0，$\frac{π}{2}$），故B=$\frac{π}{3}$．
又b=3，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\sqrt{3}$，
所以a=2$\sqrt{3}$sinA，c=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A），
故a+c=2$\sqrt{3}$sinA+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）=3$\sqrt{3}$sinA+3cosA=6sin（A+$\frac{π}{6}$），
由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），得A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），故6sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（3，6]，
∴a+c∈（3，6]．…（12分）
（也可用余弦定理计算）

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运行，三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，正弦定理的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．