Question

6．已知曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=-1+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1$．
（ I）写出曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
（ II）若直线l与曲线C交于A、B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （I）曲线C的参数方程消去参数α，求出曲线C的标准方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．
（II）圆C的圆心C（1，-1）到直线l：x+y-1=0的距离为d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求出|AB|，再求出O（0，0）到直线l：x+y-1=0的距离h，由此能求出△OAB的面积．

解答 解：（I）∵曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=-1+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），
∴消去参数α，得曲线C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=2，即x²+y²-2x+2y=0，
∴曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ-2sinθ，即$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，
∵直线l的极坐标方程$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1，即ρ（sinθ+cosθ）=1$．
∴直线l的直角坐标方程为x+y-1=0．
（II）圆C的圆心C（1，-1）到直线l：x+y-1=0的距离为：
d=$\frac{|1-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$，
O（0，0）到直线l：x+y-1=0的距离h=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△OAB的面积S_△OAB=$\frac{1}{2}×|AB|×h$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查考查直线方程的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．