Question

14．平面向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos（ωx+$\frac{π}{3}$），1）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期是π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式和对称轴方程； 
（Ⅱ）求f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，两角和差公式以及二倍角的正弦公式、余弦公式可得f（x）的解析式，再由正弦函数的周期和对称轴，即可得到所求；
（Ⅱ）由x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求最值，进而得到所求值域．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{m}$=（2sinωx，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos（ωx+$\frac{π}{3}$），1）（ω＞0），
函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4sinωxcos（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$
=4sinωx（$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）+$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$（1-2sin²ωx）
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），
由T=$\frac{2π}{2ω}$=π，可得ω=1，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
则对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
（Ⅱ）由x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$，可得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
由2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取得最大值1，
2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，即x=-$\frac{π}{4}$时，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取得最大值-$\frac{1}{2}$，
可得sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）在$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}]$上的值域为[-1，2]．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示，以及三角函数的恒等变换，正弦函数的周期和对称性，图象和性质的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．