Question

2．已知{a_n}的各项为正数，其前n项和S_n满足${S_n}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}$，设b_n=10-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值；
（Ⅲ）求数列{|b_n|}的前n项和H_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，求出a₁=1，当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}-{（\frac{{{a_{n-1}}+1}}{2}）^2}$，从而（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由数列{a_n}的各项为正数，能证明数列{a_n}是公差为2的等差数列，并能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=10-a_n=11-2n，推导出数列{b_n}是首项为9、公差为-2的等差数列，由此能求出数列{b_n}的前n项和，并求出当n=5时，T_n取得最大值25．
（Ⅲ）令b_n=11-2n＞0，得$n＜\frac{11}{2}$，即数列{b_n}的前5项为正数，从第6项开始都为负数．当n≤5时，H_n=T_n=n（10-n），当n≥6时，H_n=$2{T_5}-{T_n}=2×25-n（{10-n}）={n^2}-10n+50$，由此能求出数列{|b_n|}的前n项和．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵{a_n}的各项为正数，其前n项和S_n满足${S_n}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}$，
∴当n=1时，${a_1}={S_1}={（\frac{{{a_1}+1}}{2}）^2}$，解得a₁=1；
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}-{（\frac{{{a_{n-1}}+1}}{2}）^2}$，
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0．
∵数列{a_n}的各项为正数，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2（其中n∈N^*，n≥2），
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（4分）
解：（Ⅱ）∵b_n=10-a_n=11-2n，
∴b₁=9，b_n+1-b_n=11-2（n+1）-（11-2n）=-2，
即数列{b_n}是首项为9、公差为-2的等差数列，
∴数列{b_n}的前n项和${T_n}=\frac{{n（{9+11-2n}）}}{2}=n（{10-n}）$=10n-n²=-（n-5）²+25，
∴当n=5时，T_n取得最大值25．…（7分）
（Ⅲ）令b_n=11-2n＞0，得$n＜\frac{11}{2}$，
即数列{b_n}的前5项为正数，从第6项开始都为负数．
①当n≤5时，H_n=T_n=n（10-n），
②当n≥6时，H_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅-b₆-…-b_n
=2（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅）-（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆+…+b_n）
=$2{T_5}-{T_n}=2×25-n（{10-n}）={n^2}-10n+50$，
∴数列{|b_n|}的前n项和${H_n}=\left\{\begin{array}{l}n（{10-n}），n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6.\end{array}\right.$…（12分）

点评 本题考查等差数列的证明，考查等差数列的通项公式的求法，考查等比数列的前n项和的最大值的求法，考查数列的前n项的绝对值的和的求法，考查等比数列、错位相减法等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．