Question

12．已知a＞0，b＞0，
（1）求证：$\frac{{a}^{2}}{b}$$+\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b
（2）求证：$\frac{1}{a}$$+\frac{4}{b}$$≥\frac{9}{a+b}$．

Answer 1

分析 （1）去分母，寻找使不等式成立的条件，利用分析法证明；
（2）两边同乘（a+b），利用基本不等式得出，也可用分析法得出．

解答 证明：（1）要证：$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b，
只需证：a³+b³≥a²b+ab²，
只需证：a²（a-b）+b²（b-a）≥0，
即证：（a-b）（a²-b²）≥0，
即证：（a-b）²（a+b）≥0，
显然上式恒成立，
∴$\frac{{a}^{2}}{b}+\frac{{b}^{2}}{a}$≥a+b．
（2）欲证：$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥$\frac{9}{a+b}$，
只需证：（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（a+b）≥9，
即证：$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+5≥9，
即证：$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$≥4，
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$≥4．
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$≥$\frac{9}{a+b}$．

点评 本题考查了不等式的证明，属于中档题．