Question

2．[示范高中]设x＞y＞z，且$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{n}{x-z}$（n∈N^*）恒成立，则n的最大值为3．

Answer 1

分析 .根据题意，将$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{n}{x-z}$变形为n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]，令t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]，由基本不等式的性质分析可得t的最小值，进而分析可得若n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]恒成立，必有n＜4，又由n∈N^*分析可得答案．

解答 解：根据题意，若$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$＞$\frac{n}{x-z}$（n∈N^*）恒成立，
则有n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]恒成立，
令t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]，
则有t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]=[（x-y）+（y-z）][$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]=2+（$\frac{x-y}{y-z}$+$\frac{y-z}{x-y}$）≥2+2=4，
即t=（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]有最小值4，
若n＜（x-z）[$\frac{1}{x-y}$+$\frac{1}{y-z}$]恒成立，必有n＜4，
故n的最大值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查基本不等式的性质，注意基本不等式使用的条件．