Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数成立的条件进行求解即可．
（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明．
（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明．

解答 解：（Ⅰ）由1-x²≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}…（4分）；
（Ⅱ）f（x）为偶函数．
∵f（x）定义域关于原点对称，且f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；…（8分）
（III）证明：f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2-（1-{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1，
设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{1-{x}_{1}^{2}}$-$\frac{2}{1-{x}_{2}^{2}}$
=2（$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）}$）$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）（1+{x}_{2}）}$，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，1-x₂＜0，1-x₁＜0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评 本题主要考查函数定义域，奇偶性和单调性的判断和证明，利用相应的定义是解决本题的关键．