Question

7．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-12求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，分情况讨论：当直线l垂直于x轴时，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的值；当直线l不垂直于x轴时，再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$，计算即可得到结论，再由条件解方程可得p的值，进而得到所求抛物线的方程．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
若直线l垂直于x轴，可设A（$\frac{p}{2}$，p），B（$\frac{p}{2}$，-p）．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{p}{2}$）²-p²=-$\frac{3}{4}$p²．
若直线l不垂直于轴，设其方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$⇒k²x²-p（2+k²）x+$\frac{{p}^{2}}{4}$•k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•p，x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）
=（1+k²）x₁x₂-$\frac{p}{2}$k²（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}{k}^{2}}{4}$
=（1+k²）$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{p}{2}$k²•$\frac{2+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•p+$\frac{{p}^{2}{k}^{2}}{4}$=-$\frac{3}{4}$p²．
综上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{4}$p²．
由题意可得-$\frac{3}{4}$p²=-12，
解得p=4，
则抛物线的方程为y²=8x．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，两个向量的数量积公式的应用，求出x₁•x₂ 和y₁•y₂的值，是解题的关键．