Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）+f（-x+4）=0，当x＜2时，f′（x）＜0，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则 f（x₁）+f（x₂）的值

1. A.
   恒正
2. B.
   恒负
3. C.
   可正可负
4. D.
   可能等于0

Answer 1

A
分析：由题设中条件f（x）+f（4-x）=0可得出函数图象关于点（2，0）为中心对称，由当x＜2时，f′（x）＜0可得出x＜2时，由此可必出函数的单调性利用单调性，再结合图象比较大小即可选出正确答案．
解答：解：从f（x）+f（4-x）=0即f（x）=-f（4-x），
则f（x）图象关于点（2，0）为中心对称，
并且当x＜2时，函数f（x）为减函数，
做草图如图示：
不妨假设x₁＜x₂，由x₁+x₂＜4，
得x₁-2+x₂-2＜0，
又（x₁-2）•（x₂-2）＜0，
得（x₁-2）与（x₂-2）异号，
则x₁，x₂分居于点（2，0）的两侧，
根据x₁＜x₂，于是有|x₁-2|＞|x₂-2|，
根据中心对称函数为减函数时，距离对称中心越远，函数绝对值越大，
则有|f（x₁）|＞|f（x₂）|，
结合图示得f（x₁）＞-f（x₂），
则f（x₁）+f（x₂）＞0，
故选A．
点评：本题考查函数单调性与导数的关系以及利用单调性比较大小，求解本题的关键是根据导数的符号判断出函数的单调性，在比较大小时根据所给的条件灵活变形，将两数的大小比较转化到一个单调区间上比较也很重要，本题考查了转化化归的能力与数形结合能力．