Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c有两个零点0和3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=

x

f(x)

，试判断函数g（x）在区间（0，3）上的单调性并用定义证明．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用待定系数法求出即可；（Ⅱ）先求出g（x）的解析式，通过定义证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）将（0，0），（3，0）代入函数的解析式，
得：c=0，b=-3，
∴f（x）=x²-3x；
（Ⅱ）∵g（x）=

x

x2-3x

=

1

x-3

∴g（x）在（0，3）递减，
证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜3，
∴g（x₁）-g（x₂）=

1

x1-3

-

1

x2-3

=

x2-x1

(x1-3)(x2-3)

，
∵x₂＞x₁，
（x₁-3）（x₂-3）＞0，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在（0，3）递减．

点评：本题考查了二次函数的解析式的求法，考查了函数的单调性问题，是一道基础题．