Question

【题目】在等比数列{an}中，a1=2，a3 ， a2+a4 ， a5成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式
（2）若数列{bn}满足b1+ +…+ =an（n∈N*），{bn}的前n项和为Sn ， 求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整数n的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等比数列{an}中，a1=2，a3，a2+a4，a5成等差数列．

∴2（a2+a4）=a3+a5，

即2（a2+a4）=q（a2+a4），

∴q=2，

则an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n，

即 ；

（2）解∵数列{bn}满足b1+ ，

∴b1+ +…+ + =an+1，

两式相减得 =an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n，

则bn+1=（n+1）2n，即bn=n2n﹣1，n≥2，

当n=1时，b1=a1=2，不满足bn=n2n﹣1，n≥2．

即bn= ．

当n=1时，不等式等价为S1﹣a1+6=6≥0成立，

当n≥2时，

Sn=2+221+322+423+…+n2n﹣1，①

则2Sn=4+222+323+424+…+n2n，②

②﹣①，得Sn=2+221﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n2n=6﹣ +n2n=6+n2n=6+4﹣2n+1+n2n=10+（n﹣2）2n，

则当n≥2时，不等式Sn﹣nan+6≥0等价为10+（n﹣2）2n﹣n2n+6≥0，

即16﹣22n≥0，则2n≤8，得n≤3，

则n的最大值是3．

【解析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系进行求解即可．（2）利用方程法求出数列{bn}的通项公式，利用错位相减法求出{bn}的前n项和公式，解不等式即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．