Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB． （Ⅰ）证明：A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S= ，求角A的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB， ∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A﹣B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S= ，
∴ bcsinA= ，
∴2bcsinA=a2 ，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°
【解析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S= ，则 bcsinA= ，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．