【题目】综合题。
(1)已知圆C的圆心是x﹣y+1=0与x轴的交点,且与直线x+y+3=0相切,求圆C的标准方程;
(2)若点P(x,y)在圆x2+y2﹣4y+3=0上,求 的最大值.
【答案】
(1)解:对于直线x﹣y+1=0,令y=0,得到x=﹣1,即圆心C(﹣1,0),
∵圆心C(﹣1,0)到直线x+y+3=0的距离d= ,
∴圆C半径r= ,
则圆C方程为(x+1)2+y2=2
(2)解:设 =k,则y=kx,代入x2+y2﹣4y+3=0,可得(1+k2)x2﹣4kx+3=0,
由△=16k2﹣12(1+k2)≥0,可得﹣ ≤k≤ ,
∴ 的最大值为
【解析】(1)求出直线x﹣y+1=0与x轴的交点即为圆心C坐标,求出点C到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,写出圆的标准方程即可;(2)设 =k,则y=kx,代入x2+y2﹣4y+3=0,可得(1+k2)x2﹣4kx+3=0,由△=16k2﹣12(1+k2)≥0,可得结论.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B
(Ⅱ)若△ABC的面积S= ,求角A的大小.
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【题目】图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b,i的值分别为8,10,0,则输出的a和i和值分别为( )
A.2,5
B.2,4
C.0,4
D.0,5
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【题目】平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C,关于曲线C的几何性质,给出下列四个结论: ①曲线C的方程为x2=4y;
②曲线C关于y轴对称
③若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;
④若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4
其中,所有正确结论的序号是 .
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【题目】已知抛物线C:y=2x2 , 直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N. (Ⅰ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(Ⅱ)是否存在实数k使 ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
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【题目】函数y=log cos( ﹣2x)的递增区间是 ( )
A.[﹣ +kπ, +kπ](k∈Z)
B.[﹣ +kπ,kπ)(k∈Z)
C.[ +kπ, +kπ](k∈Z)
D.[ +kπ, +kπ)(k∈Z)
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【题目】如图,椭圆C: =1(0<b<3)的右焦点为F,P为椭圆上一动点,连接PF交椭圆于Q点,且|PQ|的最小值为 .
(1)求椭圆方程;
(2)若 ,求直线PQ的方程;
(3)M,N为椭圆上关于x轴对称的两点,直线PM,PN分别与x轴交于R,S,求证:|OR||OS|为定值.
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【题目】已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an﹣1+3an﹣2 , (n≥3) (Ⅰ)证明数列{an﹣3an﹣1}成等比数列,并求数{an}列的通项公式an;
(Ⅱ)若数列bn= (an+1+an),求数列{bn}的前n项和Sn .
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点.
(Ⅰ)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为 ,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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