Question

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，可得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，由此求得不等式的解集．
（2）不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集为R，等价于|a-1|≥1，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，可得2|x-1|≥1，即|x-1|≥

1

2

，解得x≥

3

2

或x≤

1

2

，
∴不等式的解集为(-∞，

1

2

]∪[

3

2

，+∞)．  …（5分）
（2）∵|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，不等式|ax-1|+|ax-a|≥1解集为R，等价于|a-1|≥1．
解得a≥2，或a≤0．    又∵a＞0，∴a≥2．
∴实数a的取值范围为[2，+∞）．   …（10分）

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．