Question

17．（1）解不等式x²-2x+3≤0；
（2）已知不等式（k-1）x²+（1-k）x+1＞0的解集为R，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据判别式△＜0判断不等式x²-2x+3≤0的解集为∅；
（2）讨论k的取值范围，求出该不等式解集为R时实数k的取值范围即可．

解答 解：（1）在不等式x²-2x+3≤0中，
△=（-2）²-4×1×3=-8＜0，
∴该不等式对应的方程无实数根，
∴该不等式的解集为∅；
（2）∵不等式（k-1）x²+（1-k）x+1＞0的解集为R，
∴当k-1=0，即k=1，不等式化为1＞0恒成立；
当k-1≠0，即k≠1时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{k-1＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{{（1-k）}^{2}-4（k-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{1＜k＜5}\end{array}\right.$，
即1＜k＜5；
综上，实数k的取值范围是1≤k＜5．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题目．