Question

已知数列{a_n}，前n项和为S_n，若S_n+a_n=n²+3n-1，n∈N^*．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在常数p，q，使得数列{a_n+pn+q}为等比数列，若存在，求出数列{a_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵S_n+a_n=n²+3n-1，∴s₁+a₁=3，∴．
n=2时，（a₁+a₂）+a₂=2²+3×2-1，∴，∴．
n=3时，（a₁+a₂+a₃）+a₃=3²+3×3-1，∴，∴．
n=4时，（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₄=4²+3×4-1，∴，∴．
（2）∵S_n+a_n=n²+3n-1，①
∴S_n+1+a_n+1=（n+1）²+3（n+1）-1，②
②-①得S_n+1-S_n+a_n+1-a_n=2n+4，
∴2a_n+1-a_n=2n+4，∴．
设．
∴．
令．∴∴
∴存在常数p=-2，q=0．使{a_n-2n}构成等比数列，首项，公比为，
∴，∴．
分析：（1）结合已知S_n+a_n=n²+3n-1可把n=1，2，3，4，代入到递推公式中进行求解即可
（2）由已知S_n+a_n=n²+3n-1可得，S_n+1+a_n+1=（n+1）²+3（n+1）-1，考虑两式相减可得．结合已知数列为等比数列可构造，利用待定系数法可求p，q，从而可求数列的通项公式
点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的项，及由数列的递推公式求解数列的通项公式，而等比数列的定义是解决等比数列最基本的方法．