Question

已知函数f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-1，x∈R．
（1）求函数的最小正周期、最大值及单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若a，b，c成等比数列，且c=2a，求f(B-

π

12

)的值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式降幂化积，则函数的最小正周期、最大值及单调增区间可求；
（2）由a，b，c成等比数列得到a，b，c的关系，利用余弦定理求出cosB，进一步求出sinB，把f(B-

π

12

)代入（1）中的解析式化简整理求值．

解答：解：（1）由f（x）=4cos²x+4

3

sinxcosx-1，
得f(x)=2cos2x+2

3

sin2x+1=4sin(2x+

π

6

)+1
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
则kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，最大值为5，
单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵在△ABC中，若a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
又∵c=2a，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

4

，∴sinB=

7

4

∴f(B-

π

12

)=4sin2B+1=8sinBcosB+1=

3 7 +2

2

．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换，考查了复合三角函数的单调性，考查了等比数列的性质，
利用余弦定理通过边的转化求角B是解答该题的关键，是中档题．